Vorlesungsmitschrift: LaTeX-Vorlage
Eine kostenlose LaTeX-Vorlage für Vorlesungsmitschriften mit farbigen Kästen für Definitionen, Sätze, Beispiele und Bemerkungen, automatisch nummeriert, damit die Struktur des Fachs hervortritt.
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LaTeX-Quelltext
% Vorlage für Vorlesungsmitschriften: farbige Kästen für Definitionen, Sätze, Beispiele und Bemerkungen, Beweise,
% eine TikZ-Abbildung und eine Kopfzeile. Sie ist mit einem kurzen Beispiel
% (Eigenwerte und Eigenvektoren) gefüllt, damit du siehst, wie jeder Kasten aussieht. Ersetze das Beispiel durch deine eigenen Notizen.
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% ---- Angaben zur Vorlesung: hier anpassen ----
\newcommand{\coursename}{Lineare Algebra}
\newcommand{\notestitle}{Eigenwerte und Eigenvektoren}
\newcommand{\notesauthor}{Dein Name}
\newcommand{\notesdate}{Wintersemester 2026/27}
\title{\notestitle}
\author{\coursename \\ \notesauthor}
\date{\notesdate}
% Kopf- und Fußzeile
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\lhead{\coursename}
\rhead{\notestitle}
\cfoot{\thepage}
\setlength{\headheight}{14pt}
% Kürzel für Zahlenmengen und häufige Operatoren
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\DeclareMathOperator{\id}{Id}
% Kästen, pro Abschnitt nummeriert: Definition, Satz, Beispiel und Bemerkung
\newtcbtheorem[number within=section]{definition}{Definition}{colback=blue!5,colframe=blue!60!black,fonttitle=\bfseries}{def}
\newtcbtheorem[number within=section]{theorem}{Satz}{colback=red!4,colframe=red!60!black,fonttitle=\bfseries}{thm}
\newtcbtheorem[number within=section]{example}{Beispiel}{colback=green!4,colframe=green!45!black,fonttitle=\bfseries}{ex}
\newtcolorbox{remark}{colback=yellow!10,colframe=orange!70!black,title=Bemerkung,fonttitle=\bfseries}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\tableofcontents
\section{Definitionen}
\begin{definition}{Eigenwert und Eigenvektor}{eigen}
Sei $A$ eine $n\times n$-Matrix. Ein Skalar $\lambda\in\C$ heißt \emph{Eigenwert} von $A$, wenn es einen
Vektor $v\in\C^n$ mit $v\neq 0$ gibt, einen sogenannten \emph{Eigenvektor}, sodass
\begin{equation}
Av = \lambda v .
\end{equation}
\end{definition}
Geometrisch streckt (oder spiegelt) $A$ einen Eigenvektor nur: Seine Richtung ändert sich nicht.
Abbildung~\ref{fig:eigen} zeigt dies für die Matrix aus Beispiel~\ref{ex:matrix} weiter unten.
\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
\draw[->, gray] (-2.4,0) -- (3.4,0) node[right] {$x$};
\draw[->, gray] (0,-2.4) -- (0,3.4) node[above] {$y$};
\draw[->, thick, blue!70!black] (0,0) -- (1,1) node[below right] {$v_1$};
\draw[->, thick, blue!70!black, dashed] (0,0) -- (3,3) node[above left] {$Av_1=3v_1$};
\draw[->, thick, red!70!black] (0,0) -- (1,-1) node[below left] {$v_2$};
\draw[->, thick, red!70!black, dashed] (0,0) -- (1,-1);
\node[red!70!black, right] at (1.1,-1.2) {$Av_2=v_2$};
\end{tikzpicture}
\caption{Die Matrix $A$ streckt $v_1=(1,1)$ um den Faktor $3$ und lässt $v_2=(1,-1)$ unverändert.}
\label{fig:eigen}
\end{figure}
\section{Hauptergebnis}
\begin{theorem}{Charakteristisches Polynom}{charpoly}
Ein Skalar $\lambda$ ist genau dann ein Eigenwert von $A$, wenn $\det(A-\lambda \id)=0$ gilt.
\end{theorem}
\begin{proof}
$Av=\lambda v$ mit $v\neq 0$ ist äquivalent dazu, dass $(A-\lambda \id)v=0$ eine nichttriviale Lösung besitzt.
Das ist genau dann der Fall, wenn $A-\lambda \id$ nicht invertierbar ist, also wenn ihre Determinante null ist.
\end{proof}
\begin{remark}
Das Polynom $p(\lambda)=\det(A-\lambda\id)$ hat den Grad $n$, also besitzt $A$ höchstens $n$ verschiedene
Eigenwerte. Über $\C$ hat es genau $n$ Eigenwerte, mit Vielfachheit gezählt.
\end{remark}
\section{Beispiele}
\begin{example}{Eine symmetrische Matrix}{matrix}
Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von
\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
\]
Das charakteristische Polynom lautet
\[
\det(A-\lambda\id) = (2-\lambda)^2 - 1 = (\lambda-1)(\lambda-3),
\]
also sind die Eigenwerte $\lambda_1=3$ und $\lambda_2=1$. Das Lösen von $(A-\lambda_i\id)v=0$ liefert die
Eigenvektoren
\[
v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
\]
\end{example}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Die Spur von $A$ ist $\lambda_1+\lambda_2=4$ und ihre Determinante ist $\lambda_1\lambda_2=3$.
\item Die Eigenvektoren sind orthogonal: Bei einer reellen symmetrischen Matrix sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stets orthogonal.
\end{enumerate}
\end{document}