Plantilla de chuleta (hoja de fórmulas) en LaTeX
Una plantilla de chuleta en LaTeX gratis que mete una asignatura entera en una página A4 apaisada, a tres columnas y con títulos de colores por tema.
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Código LaTeX
% Plantilla de acordeón (hoja de resumen): A4 apaisado, tres columnas, letra pequeña y encabezados de tema en color, pensada
% para imprimirse en una sola página. Está rellena con un ejemplo de cálculo. Sustituye los temas y las fórmulas por los
% tuyos; cada \topic empieza un bloque nuevo y el texto pasa solo de una columna a la siguiente.
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% Color de los encabezados: cámbialo aquí
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% \topic{título}: una barra de encabezado que empieza un bloque nuevo
\newcommand{\topic}[1]{\par\vspace{5pt}\noindent\colorbox{accent}{\parbox{\dimexpr\linewidth-2\fboxsep\relax}{\color{white}\bfseries #1}}\par\vspace{1pt}}
\begin{document}
\begin{center}
{\large\bfseries\color{accent}Acordeón de cálculo}\quad\textcolor{gray}{Límites, derivadas, integrales, series}
\end{center}
\vspace{-4pt}
\begin{multicols}{3}
\raggedcolumns\raggedright
\topic{Límites}
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sen x}{x}=1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 \qquad \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 \qquad \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{n}=e$
\textbf{Regla de L'Hôpital:} si $\frac00$ o $\frac\infty\infty$, entonces $\displaystyle\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ cuando existe el límite de la derecha.
\textbf{Continuidad:} $f$ es continua en $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
\topic{Reglas de derivación}
$\begin{aligned}
(f\pm g)'&=f'\pm g' & (cf)'&=cf'\\
(fg)'&=f'g+fg' & \Bigl(\frac fg\Bigr)'&=\frac{f'g-fg'}{g^2}\\
\multicolumn{4}{l}{$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x)$}
\end{aligned}$
\textbf{Definición:} $f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
\topic{Derivadas comunes}
\begin{tabular}{@{}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{\hspace{8pt}}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{}}
x^n & nx^{n-1} & \sen x & \cos x \\
e^x & e^x & \cos x & -\sen x \\
a^x & a^x\ln a & \tg x & \sec^2x \\
\ln x & 1/x & \arcsen x & 1/\sqrt{1-x^2} \\
\log_a x & 1/(x\ln a) & \arctg x & 1/(1+x^2) \\
\senh x & \cosh x & \cosh x & \senh x \\
\end{tabular}
\topic{Integrales}
\begin{tabular}{@{}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{\hspace{8pt}}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{}}
\int x^n\,dx & \frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\ne-1) & \int\sen x\,dx & -\cos x \\
\int\frac1x\,dx & \ln|x| & \int\cos x\,dx & \sen x \\
\int e^x\,dx & e^x & \int\sec^2x\,dx & \tg x \\
\int a^x\,dx & \frac{a^x}{\ln a} & \int\frac{dx}{1+x^2} & \arctg x \\
\int\ln x\,dx & x\ln x-x & \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} & \arcsen x \\
\end{tabular}
(suma $+C$ a toda primitiva)
\columnbreak
\topic{Técnicas de integración}
\textbf{Por partes:} $\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du$
\textbf{Sustitución:} $\displaystyle\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$, con $u=g(x)$
\textbf{Fracciones simples:} $\displaystyle\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{a-b}\Bigl(\frac1{x-a}-\frac1{x-b}\Bigr)$
\textbf{Trigonométrica:} usa $x=a\sen\theta$ para $\sqrt{a^2-x^2}$ y $x=a\tg\theta$ para $a^2+x^2$.
\topic{Teorema fundamental del cálculo}
$\displaystyle\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a) \qquad \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$
\textbf{Teorema del valor medio:} si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, existe $c$ con $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
\topic{Aplicaciones de la integral}
\begin{tabular}{@{}ll@{}}
Área entre curvas & $\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx$ \\
Volumen de revolución & $\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$ \\
Longitud de arco & $\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$ \\
Valor medio & $\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ \\
\end{tabular}
\topic{Criterios para series}
\textbf{Divergencia:} si $a_n\not\to0$, entonces $\sum a_n$ diverge.
\textbf{Cociente:} si $\lim\bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|=L$, la serie converge para $L<1$ y diverge para $L>1$.
\textbf{Integral:} $\sum a_n$ e $\int^\infty f(x)\,dx$ con $f(n)=a_n$ decreciente y positiva convergen a la vez.
\textbf{Serie $p$:} $\sum 1/n^p$ converge si y solo si $p>1$.
\topic{Integrales impropias}
$\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}$ converge si y solo si $p>1$, y $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^p}$ si y solo si $p<1$.
\textbf{Comparación:} si $0\le f\le g$ y $\int g$ converge, entonces $\int f$ converge.
\columnbreak
\topic{Serie geométrica}
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac1{1-r}\quad(|r|<1) \qquad \sum_{n=0}^{N}r^n=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}$
\topic{Series de Maclaurin}
$\begin{aligned}
e^x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} & \sen x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
\cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} & \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}
\end{aligned}$
La serie de $\ln(1+x)$ vale para $|x|<1$; las demás valen para todo $x$.
\textbf{Taylor:} $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
\topic{Identidades trigonométricas}
$\sen^2x+\cos^2x=1 \qquad 1+\tg^2x=\sec^2x$
$\sen(a\pm b)=\sen a\cos b\pm\cos a\sen b$
$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sen a\sen b$
$\sen2x=2\sen x\cos x \qquad \cos2x=\cos^2x-\sen^2x$
$\sen^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2} \qquad \cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$
\topic{Aplicaciones de la derivada}
\textbf{Recta tangente en $a$:} $y=f(a)+f'(a)(x-a)$
\textbf{Puntos críticos:} $f'(x)=0$. Si $f''>0$ ahí es un mínimo, si $f''<0$ un máximo.
\textbf{Método de Newton:} $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
\topic{Logaritmos y exponenciales}
$\ln(ab)=\ln a+\ln b \qquad \ln\dfrac ab=\ln a-\ln b \qquad \ln a^r=r\ln a$
$e^{\ln x}=x \qquad a^x=e^{x\ln a} \qquad \log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}$
\topic{Valores del seno y del coseno}
\begin{tabular}{@{}c|ccccc@{}}
$\theta$ & $0$ & $\pi/6$ & $\pi/4$ & $\pi/3$ & $\pi/2$ \\
\hline
$\sen\theta$ & $0$ & $\frac12$ & $\frac{\sqrt2}2$ & $\frac{\sqrt3}2$ & $1$ \\
$\cos\theta$ & $1$ & $\frac{\sqrt3}2$ & $\frac{\sqrt2}2$ & $\frac12$ & $0$ \\
\end{tabular}
\end{multicols}
\end{document}