Modèle d’aide-mémoire (antisèche) LaTeX
Un modèle d’aide-mémoire LaTeX gratuit qui fait tenir une matière entière sur une page A4 paysage, en trois colonnes avec des titres colorés par thème.
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Code LaTeX
% Modèle d'aide-mémoire : A4 paysage, trois colonnes, petits caractères et titres de thème en couleur, conçu pour s'imprimer
% sur une seule page. Il est rempli avec un exemple d'analyse. Remplace les thèmes et les formules par les tiens ; chaque
% \topic commence un nouveau bloc et le texte passe tout seul d'une colonne à la suivante.
\documentclass[a4paper,landscape,10pt]{extarticle}
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\setlength{\tabcolsep}{3pt}
% Couleur des titres : à modifier ici
\definecolor{accent}{HTML}{1F4E79}
% \topic{titre} : une barre de titre qui commence un nouveau bloc
\newcommand{\topic}[1]{\par\vspace{5pt}\noindent\colorbox{accent}{\parbox{\dimexpr\linewidth-2\fboxsep\relax}{\color{white}\bfseries #1}}\par\vspace{1pt}}
\begin{document}
\begin{center}
{\large\bfseries\color{accent}Aide-mémoire d'analyse}\quad\textcolor{gray}{Limites, dérivées, intégrales, séries}
\end{center}
\vspace{-4pt}
\begin{multicols}{3}
\raggedcolumns\raggedright
\topic{Limites}
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 \qquad \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 \qquad \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{n}=e$
\textbf{Règle de L'Hôpital :} si $\frac00$ ou $\frac\infty\infty$, alors $\displaystyle\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ quand la limite de droite existe.
\textbf{Continuité :} $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
\topic{Règles de dérivation}
$\begin{aligned}
(f\pm g)'&=f'\pm g' & (cf)'&=cf'\\
(fg)'&=f'g+fg' & \Bigl(\frac fg\Bigr)'&=\frac{f'g-fg'}{g^2}\\
\multicolumn{4}{l}{$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x)$}
\end{aligned}$
\textbf{Définition :} $f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
\topic{Dérivées usuelles}
\begin{tabular}{@{}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{\hspace{8pt}}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{}}
x^n & nx^{n-1} & \sin x & \cos x \\
e^x & e^x & \cos x & -\sin x \\
a^x & a^x\ln a & \tan x & \sec^2x \\
\ln x & 1/x & \arcsin x & 1/\sqrt{1-x^2} \\
\log_a x & 1/(x\ln a) & \arctan x & 1/(1+x^2) \\
\sinh x & \cosh x & \cosh x & \sinh x \\
\end{tabular}
\topic{Intégrales}
\begin{tabular}{@{}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{\hspace{8pt}}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{}}
\int x^n\,dx & \frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\ne-1) & \int\sin x\,dx & -\cos x \\
\int\frac1x\,dx & \ln|x| & \int\cos x\,dx & \sin x \\
\int e^x\,dx & e^x & \int\sec^2x\,dx & \tan x \\
\int a^x\,dx & \frac{a^x}{\ln a} & \int\frac{dx}{1+x^2} & \arctan x \\
\int\ln x\,dx & x\ln x-x & \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} & \arcsin x \\
\end{tabular}
(ajouter $+C$ à chaque primitive)
\columnbreak
\topic{Techniques d'intégration}
\textbf{Par parties :} $\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du$
\textbf{Changement de variable :} $\displaystyle\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$, avec $u=g(x)$
\textbf{Décomposition en éléments simples :} $\displaystyle\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{a-b}\Bigl(\frac1{x-a}-\frac1{x-b}\Bigr)$
\textbf{Trigonométrique :} poser $x=a\sin\theta$ pour $\sqrt{a^2-x^2}$ et $x=a\tan\theta$ pour $a^2+x^2$.
\topic{Théorème fondamental de l'analyse}
$\displaystyle\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a) \qquad \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$
\textbf{Théorème des accroissements finis :} si $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$, il existe $c$ tel que $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
\topic{Applications de l'intégrale}
\begin{tabular}{@{}ll@{}}
Aire entre deux courbes & $\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx$ \\
Volume de révolution & $\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$ \\
Longueur d'arc & $\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$ \\
Valeur moyenne & $\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ \\
\end{tabular}
\topic{Critères pour les séries}
\textbf{Divergence :} si $a_n\not\to0$, alors $\sum a_n$ diverge.
\textbf{Règle de d'Alembert :} si $\lim\bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|=L$, la série converge pour $L<1$ et diverge pour $L>1$.
\textbf{Intégrale :} $\sum a_n$ et $\int^\infty f(x)\,dx$ avec $f(n)=a_n$ décroissante et positive sont de même nature.
\textbf{Série de Riemann :} $\sum 1/n^p$ converge si et seulement si $p>1$.
\topic{Intégrales impropres}
$\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}$ converge si et seulement si $p>1$, et $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^p}$ si et seulement si $p<1$.
\textbf{Comparaison :} si $0\le f\le g$ et $\int g$ converge, alors $\int f$ converge.
\columnbreak
\topic{Série géométrique}
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac1{1-r}\quad(|r|<1) \qquad \sum_{n=0}^{N}r^n=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}$
\topic{Séries de Maclaurin}
$\begin{aligned}
e^x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} & \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
\cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} & \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}
\end{aligned}$
La série de $\ln(1+x)$ est valable pour $|x|<1$ ; les autres le sont pour tout $x$.
\textbf{Taylor :} $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
\topic{Identités trigonométriques}
$\sin^2x+\cos^2x=1 \qquad 1+\tan^2x=\sec^2x$
$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$
$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$
$\sin2x=2\sin x\cos x \qquad \cos2x=\cos^2x-\sin^2x$
$\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2} \qquad \cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$
\topic{Applications de la dérivée}
\textbf{Tangente en $a$ :} $y=f(a)+f'(a)(x-a)$
\textbf{Points critiques :} $f'(x)=0$. Si $f''>0$ en ce point, c'est un minimum, si $f''<0$, un maximum.
\textbf{Méthode de Newton :} $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
\topic{Logarithmes et exponentielles}
$\ln(ab)=\ln a+\ln b \qquad \ln\dfrac ab=\ln a-\ln b \qquad \ln a^r=r\ln a$
$e^{\ln x}=x \qquad a^x=e^{x\ln a} \qquad \log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}$
\topic{Valeurs du sinus et du cosinus}
\begin{tabular}{@{}c|ccccc@{}}
$\theta$ & $0$ & $\pi/6$ & $\pi/4$ & $\pi/3$ & $\pi/2$ \\
\hline
$\sin\theta$ & $0$ & $\frac12$ & $\frac{\sqrt2}2$ & $\frac{\sqrt3}2$ & $1$ \\
$\cos\theta$ & $1$ & $\frac{\sqrt3}2$ & $\frac{\sqrt2}2$ & $\frac12$ & $0$ \\
\end{tabular}
\end{multicols}
\end{document}