Modelo de cola (resumo de fórmulas) em LaTeX
Um modelo de cola em LaTeX gratuito que cabe uma matéria inteira em uma página A4 em paisagem, com três colunas e títulos coloridos por tema.
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Código LaTeX
% Modelo de folha de resumo: A4 paisagem, três colunas, letra pequena e títulos de tópico coloridos, pensado para ser
% impresso numa única página. Está preenchido com um exemplo de cálculo. Substitua os tópicos e as fórmulas pelos seus;
% cada \topic começa um novo bloco e o texto passa sozinho de uma coluna para a seguinte.
\documentclass[a4paper,landscape,10pt]{extarticle}
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% Cor dos títulos: altere aqui
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% \topic{título}: uma barra de título que começa um novo bloco
\newcommand{\topic}[1]{\par\vspace{5pt}\noindent\colorbox{accent}{\parbox{\dimexpr\linewidth-2\fboxsep\relax}{\color{white}\bfseries #1}}\par\vspace{1pt}}
\begin{document}
\begin{center}
{\large\bfseries\color{accent}Folha de resumo de cálculo}\quad\textcolor{gray}{Limites, derivadas, integrais, séries}
\end{center}
\vspace{-4pt}
\begin{multicols}{3}
\raggedcolumns\raggedright
\topic{Limites}
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 \qquad \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 \qquad \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{n}=e$
\textbf{Regra de L'Hôpital:} se $\frac00$ ou $\frac\infty\infty$, então $\displaystyle\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$ quando o limite da direita existe.
\textbf{Continuidade:} $f$ é contínua em $a$ se $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
\topic{Regras de derivação}
$\begin{aligned}
(f\pm g)'&=f'\pm g' & (cf)'&=cf'\\
(fg)'&=f'g+fg' & \Bigl(\frac fg\Bigr)'&=\frac{f'g-fg'}{g^2}\\
\multicolumn{4}{l}{$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x)$}
\end{aligned}$
\textbf{Definição:} $f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
\topic{Derivadas comuns}
\begin{tabular}{@{}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{\hspace{8pt}}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{}}
x^n & nx^{n-1} & \sin x & \cos x \\
e^x & e^x & \cos x & -\sin x \\
a^x & a^x\ln a & \tan x & \sec^2x \\
\ln x & 1/x & \arcsin x & 1/\sqrt{1-x^2} \\
\log_a x & 1/(x\ln a) & \arctan x & 1/(1+x^2) \\
\sinh x & \cosh x & \cosh x & \sinh x \\
\end{tabular}
\topic{Integrais}
\begin{tabular}{@{}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{\hspace{8pt}}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{}}
\int x^n\,dx & \frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\ne-1) & \int\sin x\,dx & -\cos x \\
\int\frac1x\,dx & \ln|x| & \int\cos x\,dx & \sin x \\
\int e^x\,dx & e^x & \int\sec^2x\,dx & \tan x \\
\int a^x\,dx & \frac{a^x}{\ln a} & \int\frac{dx}{1+x^2} & \arctan x \\
\int\ln x\,dx & x\ln x-x & \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} & \arcsin x \\
\end{tabular}
(some $+C$ a toda primitiva)
\columnbreak
\topic{Técnicas de integração}
\textbf{Por partes:} $\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du$
\textbf{Substituição:} $\displaystyle\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$, com $u=g(x)$
\textbf{Frações parciais:} $\displaystyle\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{a-b}\Bigl(\frac1{x-a}-\frac1{x-b}\Bigr)$
\textbf{Trigonométrica:} use $x=a\sin\theta$ para $\sqrt{a^2-x^2}$ e $x=a\tan\theta$ para $a^2+x^2$.
\topic{Teorema fundamental do cálculo}
$\displaystyle\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a) \qquad \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$
\textbf{Teorema do valor médio:} se $f$ é contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$, existe $c$ com $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
\topic{Aplicações da integral}
\begin{tabular}{@{}ll@{}}
Área entre curvas & $\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx$ \\
Volume de revolução & $\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$ \\
Comprimento de arco & $\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$ \\
Valor médio & $\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ \\
\end{tabular}
\topic{Testes para séries}
\textbf{Divergência:} se $a_n\not\to0$, então $\sum a_n$ diverge.
\textbf{Razão:} se $\lim\bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|=L$, a série converge para $L<1$ e diverge para $L>1$.
\textbf{Integral:} $\sum a_n$ e $\int^\infty f(x)\,dx$ com $f(n)=a_n$ decrescente e positiva convergem juntas.
\textbf{Série $p$:} $\sum 1/n^p$ converge se e somente se $p>1$.
\topic{Integrais impróprias}
$\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}$ converge se e somente se $p>1$, e $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^p}$ se e somente se $p<1$.
\textbf{Comparação:} se $0\le f\le g$ e $\int g$ converge, então $\int f$ converge.
\columnbreak
\topic{Série geométrica}
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac1{1-r}\quad(|r|<1) \qquad \sum_{n=0}^{N}r^n=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}$
\topic{Séries de Maclaurin}
$\begin{aligned}
e^x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} & \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
\cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} & \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}
\end{aligned}$
A série de $\ln(1+x)$ vale para $|x|<1$; as demais valem para todo $x$.
\textbf{Taylor:} $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
\topic{Identidades trigonométricas}
$\sin^2x+\cos^2x=1 \qquad 1+\tan^2x=\sec^2x$
$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$
$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$
$\sin2x=2\sin x\cos x \qquad \cos2x=\cos^2x-\sin^2x$
$\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2} \qquad \cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$
\topic{Aplicações da derivada}
\textbf{Reta tangente em $a$:} $y=f(a)+f'(a)(x-a)$
\textbf{Pontos críticos:} $f'(x)=0$. Se $f''>0$ ali, é um mínimo; se $f''<0$, um máximo.
\textbf{Método de Newton:} $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
\topic{Logaritmos e exponenciais}
$\ln(ab)=\ln a+\ln b \qquad \ln\dfrac ab=\ln a-\ln b \qquad \ln a^r=r\ln a$
$e^{\ln x}=x \qquad a^x=e^{x\ln a} \qquad \log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}$
\topic{Valores de seno e cosseno}
\begin{tabular}{@{}c|ccccc@{}}
$\theta$ & $0$ & $\pi/6$ & $\pi/4$ & $\pi/3$ & $\pi/2$ \\
\hline
$\sin\theta$ & $0$ & $\frac12$ & $\frac{\sqrt2}2$ & $\frac{\sqrt3}2$ & $1$ \\
$\cos\theta$ & $1$ & $\frac{\sqrt3}2$ & $\frac{\sqrt2}2$ & $\frac12$ & $0$ \\
\end{tabular}
\end{multicols}
\end{document}