速查表（小抄）LaTeX 模板
免费的速查表 LaTeX 模板，用 A4 横版三栏和彩色主题标题，把一门课的内容放进一页。
LaTeX 源码
% !TEX program = xelatex
% 速查表模板：A4 横向、三栏、小字号、彩色主题标题，可印在一页纸上（需用 XeLaTeX 编译，第一行的魔法注释已设置）。
% 其中填入了微积分示例。请把主题和公式换成你自己的；每个 \topic 开始一个新块，文字会自动从一栏流到下一栏。
\documentclass[a4paper,landscape,10pt,linespread=1]{ctexart}
% ctexart 已提供中文支持，无需另外加载语言宏包
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\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\setlength{\tabcolsep}{3pt}
% 标题颜色：在这里修改
\definecolor{accent}{HTML}{1F4E79}
% \topic{标题}：开始一个新块的标题条
\newcommand{\topic}[1]{\par\vspace{5pt}\noindent\colorbox{accent}{\parbox{\dimexpr\linewidth-2\fboxsep\relax}{\color{white}\bfseries #1}}\par\vspace{1pt}}
\begin{document}
\begin{center}
{\large\bfseries\color{accent}微积分速查表}\quad\textcolor{gray}{极限、导数、积分、级数}
\end{center}
\vspace{-4pt}
\begin{multicols}{3}
\raggedcolumns\raggedright
\topic{极限}
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 \qquad \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 \qquad \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{n}=e$
\textbf{洛必达法则：}若为 $\frac00$ 型或 $\frac\infty\infty$ 型，则当右端极限存在时，$\displaystyle\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$。
\textbf{连续性：}若 $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$，则 $f$ 在 $a$ 处连续。
\topic{求导法则}
$\begin{aligned}
(f\pm g)'&=f'\pm g' & (cf)'&=cf'\\
(fg)'&=f'g+fg' & \Bigl(\frac fg\Bigr)'&=\frac{f'g-fg'}{g^2}\\
\multicolumn{4}{l}{$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x)$}
\end{aligned}$
\textbf{定义：}$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
\topic{常用导数}
\begin{tabular}{@{}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{\hspace{8pt}}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{}}
x^n & nx^{n-1} & \sin x & \cos x \\
e^x & e^x & \cos x & -\sin x \\
a^x & a^x\ln a & \tan x & \sec^2x \\
\ln x & 1/x & \arcsin x & 1/\sqrt{1-x^2} \\
\log_a x & 1/(x\ln a) & \arctan x & 1/(1+x^2) \\
\sinh x & \cosh x & \cosh x & \sinh x \\
\end{tabular}
\topic{积分}
\begin{tabular}{@{}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{\hspace{8pt}}>{$}l<{$}>{$}l<{$}@{}}
\int x^n\,dx & \frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\ne-1) & \int\sin x\,dx & -\cos x \\
\int\frac1x\,dx & \ln|x| & \int\cos x\,dx & \sin x \\
\int e^x\,dx & e^x & \int\sec^2x\,dx & \tan x \\
\int a^x\,dx & \frac{a^x}{\ln a} & \int\frac{dx}{1+x^2} & \arctan x \\
\int\ln x\,dx & x\ln x-x & \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} & \arcsin x \\
\end{tabular}
（每个原函数都要加上 $+C$）
\columnbreak
\topic{积分技巧}
\textbf{分部积分：}$\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du$
\textbf{换元积分：}$\displaystyle\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$，其中 $u=g(x)$
\textbf{部分分式：}$\displaystyle\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{a-b}\Bigl(\frac1{x-a}-\frac1{x-b}\Bigr)$
\textbf{三角代换：}对 $\sqrt{a^2-x^2}$ 取 $x=a\sin\theta$，对 $a^2+x^2$ 取 $x=a\tan\theta$。
\topic{微积分基本定理}
$\displaystyle\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a) \qquad \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$
\textbf{中值定理：}若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $c$ 使得 $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
\topic{积分的应用}
\begin{tabular}{@{}ll@{}}
曲线间的面积 & $\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx$ \\
旋转体体积 & $\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$ \\
弧长 & $\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$ \\
平均值 & $\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ \\
\end{tabular}
\topic{级数判别法}
\textbf{发散判别：}若 $a_n\not\to0$，则 $\sum a_n$ 发散。
\textbf{比值判别：}若 $\lim\bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|=L$，则 $L<1$ 时级数收敛，$L>1$ 时发散。
\textbf{积分判别：}当 $f(n)=a_n$ 且 $f$ 单调递减、恒正时，$\sum a_n$ 与 $\int^\infty f(x)\,dx$ 同时收敛或同时发散。
\textbf{$p$ 级数：}$\sum 1/n^p$ 收敛当且仅当 $p>1$。
\topic{反常积分}
$\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}$ 收敛当且仅当 $p>1$，$\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^p}$ 收敛当且仅当 $p<1$。
\textbf{比较判别：}若 $0\le f\le g$ 且 $\int g$ 收敛，则 $\int f$ 收敛。
\columnbreak
\topic{几何级数}
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac1{1-r}\quad(|r|<1) \qquad \sum_{n=0}^{N}r^n=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}$
\topic{麦克劳林级数}
$\begin{aligned}
e^x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} & \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
\cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} & \ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}
\end{aligned}$
$\ln(1+x)$ 的级数在 $|x|<1$ 时成立，其余级数对一切 $x$ 成立。
\textbf{泰勒级数：}$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
\topic{三角恒等式}
$\sin^2x+\cos^2x=1 \qquad 1+\tan^2x=\sec^2x$
$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$
$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$
$\sin2x=2\sin x\cos x \qquad \cos2x=\cos^2x-\sin^2x$
$\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2} \qquad \cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$
\topic{导数的应用}
\textbf{$a$ 处的切线：}$y=f(a)+f'(a)(x-a)$
\textbf{临界点：}$f'(x)=0$。若此处 $f''>0$ 则为极小值，若 $f''<0$ 则为极大值。
\textbf{牛顿法：}$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
\topic{对数与指数}
$\ln(ab)=\ln a+\ln b \qquad \ln\dfrac ab=\ln a-\ln b \qquad \ln a^r=r\ln a$
$e^{\ln x}=x \qquad a^x=e^{x\ln a} \qquad \log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}$
\topic{正弦与余弦的值}
\begin{tabular}{@{}c|ccccc@{}}
$\theta$ & $0$ & $\pi/6$ & $\pi/4$ & $\pi/3$ & $\pi/2$ \\
\hline
$\sin\theta$ & $0$ & $\frac12$ & $\frac{\sqrt2}2$ & $\frac{\sqrt3}2$ & $1$ \\
$\cos\theta$ & $1$ & $\frac{\sqrt3}2$ & $\frac{\sqrt2}2$ & $\frac12$ & $0$ \\
\end{tabular}
\end{multicols}
\end{document}