Plantilla de apuntes de clase en LaTeX
Una plantilla de apuntes de clase en LaTeX gratis con cajas de colores para definiciones, teoremas, ejemplos y observaciones, numeradas automáticamente, para que la estructura de la asignatura destaque.
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Código LaTeX
% Plantilla de apuntes de clase: cajas de colores para definiciones, teoremas, ejemplos y observaciones, demostraciones,
% una figura TikZ y un encabezado de página. Viene con un ejemplo breve
% (valores y vectores propios) para que veas el aspecto de cada caja. Sustituye el ejemplo por tus propios apuntes.
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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% ---- Datos de la asignatura: edítalos ----
\newcommand{\coursename}{Álgebra lineal}
\newcommand{\notestitle}{Valores y vectores propios}
\newcommand{\notesauthor}{Tu nombre}
\newcommand{\notesdate}{Otoño 2026}
\title{\notestitle}
\author{\coursename \\ \notesauthor}
\date{\notesdate}
% Encabezado y pie de página
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\lhead{\coursename}
\rhead{\notestitle}
\cfoot{\thepage}
\setlength{\headheight}{15pt}
% Atajos para conjuntos de números y operadores habituales
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\DeclareMathOperator{\id}{Id}
% Cajas numeradas por sección: Definición, Teorema, Ejemplo y Observación
\newtcbtheorem[number within=section]{definition}{Definición}{colback=blue!5,colframe=blue!60!black,fonttitle=\bfseries}{def}
\newtcbtheorem[number within=section]{theorem}{Teorema}{colback=red!4,colframe=red!60!black,fonttitle=\bfseries}{thm}
\newtcbtheorem[number within=section]{example}{Ejemplo}{colback=green!4,colframe=green!45!black,fonttitle=\bfseries}{ex}
\newtcolorbox{remark}{colback=yellow!10,colframe=orange!70!black,title=Observación,fonttitle=\bfseries}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\tableofcontents
\section{Definiciones}
\begin{definition}{Valor propio y vector propio}{eigen}
Sea $A$ una matriz de tamaño $n\times n$. Un escalar $\lambda\in\C$ es un \emph{valor propio} de $A$ si existe
un vector no nulo $v\in\C^n$, llamado \emph{vector propio}, tal que
\begin{equation}
Av = \lambda v .
\end{equation}
\end{definition}
Geométricamente, $A$ solo estira (o invierte) un vector propio: su dirección no cambia.
La figura~\ref{fig:eigen} lo muestra para la matriz del ejemplo~\ref{ex:matrix} más abajo.
\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
\draw[->, gray] (-2.4,0) -- (3.4,0) node[right] {$x$};
\draw[->, gray] (0,-2.4) -- (0,3.4) node[above] {$y$};
\draw[->, thick, blue!70!black] (0,0) -- (1,1) node[below right] {$v_1$};
\draw[->, thick, blue!70!black, dashed] (0,0) -- (3,3) node[above left] {$Av_1=3v_1$};
\draw[->, thick, red!70!black] (0,0) -- (1,-1) node[below left] {$v_2$};
\draw[->, thick, red!70!black, dashed] (0,0) -- (1,-1);
\node[red!70!black, right] at (1.1,-1.2) {$Av_2=v_2$};
\end{tikzpicture}
\caption{La matriz $A$ estira $v_1=(1,1)$ por un factor de $3$ y deja $v_2=(1,-1)$ sin cambios.}
\label{fig:eigen}
\end{figure}
\section{Resultado principal}
\begin{theorem}{Polinomio característico}{charpoly}
Un escalar $\lambda$ es un valor propio de $A$ si y solo si $\det(A-\lambda \id)=0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
$Av=\lambda v$ con $v\neq 0$ equivale a que $(A-\lambda \id)v=0$ tenga una solución no nula. Esto ocurre
exactamente cuando $A-\lambda \id$ no es invertible, es decir, cuando su determinante es cero.
\end{proof}
\begin{remark}
El polinomio $p(\lambda)=\det(A-\lambda\id)$ tiene grado $n$, así que $A$ tiene como máximo $n$ valores
propios distintos. Sobre $\C$ tiene exactamente $n$ valores propios contados con multiplicidad.
\end{remark}
\section{Ejemplos}
\begin{example}{Una matriz simétrica}{matrix}
Halla los valores y vectores propios de
\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
\]
El polinomio característico es
\[
\det(A-\lambda\id) = (2-\lambda)^2 - 1 = (\lambda-1)(\lambda-3),
\]
por lo que los valores propios son $\lambda_1=3$ y $\lambda_2=1$. Al resolver $(A-\lambda_i\id)v=0$ se
obtienen los vectores propios
\[
v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
\]
\end{example}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item La traza de $A$ es $\lambda_1+\lambda_2=4$ y su determinante es $\lambda_1\lambda_2=3$.
\item Los vectores propios son ortogonales: en una matriz real simétrica, los vectores propios de valores propios distintos siempre lo son.
\end{enumerate}
\end{document}