Modèle de notes de cours LaTeX
Un modèle LaTeX gratuit pour notes de cours avec des encadrés colorés pour définitions, théorèmes, exemples et remarques, numérotés automatiquement, pour faire ressortir la structure d’une matière.
Ouvrir l’éditeur Retour aux modèles
Code LaTeX
% Modèle de notes de cours : encadrés de couleur pour les définitions, théorèmes, exemples et remarques, preuves,
% une figure TikZ et un en-tête courant. Il contient un court
% exemple (valeurs propres et vecteurs propres) pour que vous voyiez l'aspect de chaque encadré. Remplacez l'exemple par vos propres notes.
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
\usepackage{microtype}
\usepackage{amsmath,amssymb,mathtools}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{babel}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage[hidelinks]{hyperref}
% ---- Informations sur le cours : à modifier ----
\newcommand{\coursename}{Algèbre linéaire}
\newcommand{\notestitle}{Valeurs propres et vecteurs propres}
\newcommand{\notesauthor}{Votre nom}
\newcommand{\notesdate}{Automne 2026}
\title{\notestitle}
\author{\coursename \\ \notesauthor}
\date{\notesdate}
% En-tête et pied de page
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\lhead{\coursename}
\rhead{\notestitle}
\cfoot{\thepage}
\setlength{\headheight}{14pt}
% Raccourcis pour les ensembles de nombres et les opérateurs courants
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\DeclareMathOperator{\id}{Id}
% Encadrés numérotés par section : Définition, Théorème, Exemple et Remarque
\newtcbtheorem[number within=section]{definition}{Définition}{colback=blue!5,colframe=blue!60!black,fonttitle=\bfseries}{def}
\newtcbtheorem[number within=section]{theorem}{Théorème}{colback=red!4,colframe=red!60!black,fonttitle=\bfseries}{thm}
\newtcbtheorem[number within=section]{example}{Exemple}{colback=green!4,colframe=green!45!black,fonttitle=\bfseries}{ex}
\newtcolorbox{remark}{colback=yellow!10,colframe=orange!70!black,title=Remarque,fonttitle=\bfseries}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\tableofcontents
\section{Définitions}
\begin{definition}{Valeur propre et vecteur propre}{eigen}
Soit $A$ une matrice $n\times n$. Un scalaire $\lambda\in\C$ est une \emph{valeur propre} de $A$ s'il existe
un vecteur non nul $v\in\C^n$, appelé \emph{vecteur propre}, tel que
\begin{equation}
Av = \lambda v .
\end{equation}
\end{definition}
Géométriquement, $A$ ne fait qu'étirer (ou retourner) un vecteur propre : sa direction ne change pas.
La figure~\ref{fig:eigen} l'illustre pour la matrice de l'exemple~\ref{ex:matrix} ci-dessous.
\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
\draw[->, gray] (-2.4,0) -- (3.4,0) node[right] {$x$};
\draw[->, gray] (0,-2.4) -- (0,3.4) node[above] {$y$};
\draw[->, thick, blue!70!black] (0,0) -- (1,1) node[below right] {$v_1$};
\draw[->, thick, blue!70!black, dashed] (0,0) -- (3,3) node[above left] {$Av_1=3v_1$};
\draw[->, thick, red!70!black] (0,0) -- (1,-1) node[below left] {$v_2$};
\draw[->, thick, red!70!black, dashed] (0,0) -- (1,-1);
\node[red!70!black, right] at (1.1,-1.2) {$Av_2=v_2$};
\end{tikzpicture}
\caption{La matrice $A$ étire $v_1=(1,1)$ d'un facteur $3$ et laisse $v_2=(1,-1)$ inchangé.}
\label{fig:eigen}
\end{figure}
\section{Résultat principal}
\begin{theorem}{Polynôme caractéristique}{charpoly}
Un scalaire $\lambda$ est une valeur propre de $A$ si et seulement si $\det(A-\lambda \id)=0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
$Av=\lambda v$ avec $v\neq 0$ équivaut à dire que $(A-\lambda \id)v=0$ admet une solution non nulle. Cela
se produit exactement lorsque $A-\lambda \id$ n'est pas inversible, c'est-à-dire lorsque son déterminant est nul.
\end{proof}
\begin{remark}
Le polynôme $p(\lambda)=\det(A-\lambda\id)$ est de degré $n$, donc $A$ a au plus $n$ valeurs propres
distinctes. Sur $\C$, elle a exactement $n$ valeurs propres comptées avec multiplicité.
\end{remark}
\section{Exemples}
\begin{example}{Une matrice symétrique}{matrix}
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de
\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
\]
Le polynôme caractéristique est
\[
\det(A-\lambda\id) = (2-\lambda)^2 - 1 = (\lambda-1)(\lambda-3),
\]
donc les valeurs propres sont $\lambda_1=3$ et $\lambda_2=1$. La résolution de $(A-\lambda_i\id)v=0$ donne
les vecteurs propres
\[
v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
\]
\end{example}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item La trace de $A$ vaut $\lambda_1+\lambda_2=4$ et son déterminant vaut $\lambda_1\lambda_2=3$.
\item Les vecteurs propres sont orthogonaux : pour une matrice réelle symétrique, les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes le sont toujours.
\end{enumerate}
\end{document}