Modelo de anotações de aula em LaTeX
Um modelo de anotações de aula em LaTeX gratuito com caixas coloridas para definições, teoremas, exemplos e observações, numeradas automaticamente, para destacar a estrutura da matéria.
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Código LaTeX
% Modelo de anotações de aula: caixas coloridas para definições, teoremas, exemplos e observações, demonstrações,
% uma figura TikZ e um cabeçalho corrente. Ele vem com um exemplo curto
% (autovalores e autovetores) para você ver o aspecto de cada caixa. Substitua o exemplo pelas suas próprias anotações.
\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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% ---- Dados da disciplina: edite-os ----
\newcommand{\coursename}{Álgebra Linear}
\newcommand{\notestitle}{Autovalores e Autovetores}
\newcommand{\notesauthor}{Seu Nome}
\newcommand{\notesdate}{Outono de 2026}
\title{\notestitle}
\author{\coursename \\ \notesauthor}
\date{\notesdate}
% Cabeçalho e rodapé
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\lhead{\coursename}
\rhead{\notestitle}
\cfoot{\thepage}
\setlength{\headheight}{15pt}
% Atalhos para conjuntos numéricos e operadores comuns
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\DeclareMathOperator{\id}{Id}
% Caixas numeradas por seção: Definição, Teorema, Exemplo e Observação
\newtcbtheorem[number within=section]{definition}{Definição}{colback=blue!5,colframe=blue!60!black,fonttitle=\bfseries}{def}
\newtcbtheorem[number within=section]{theorem}{Teorema}{colback=red!4,colframe=red!60!black,fonttitle=\bfseries}{thm}
\newtcbtheorem[number within=section]{example}{Exemplo}{colback=green!4,colframe=green!45!black,fonttitle=\bfseries}{ex}
\newtcolorbox{remark}{colback=yellow!10,colframe=orange!70!black,title=Observação,fonttitle=\bfseries}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\tableofcontents
\section{Definições}
\begin{definition}{Autovalor e autovetor}{eigen}
Seja $A$ uma matriz $n\times n$. Um escalar $\lambda\in\C$ é um \emph{autovalor} de $A$ se existe
um vetor não nulo $v\in\C^n$, chamado \emph{autovetor}, tal que
\begin{equation}
Av = \lambda v .
\end{equation}
\end{definition}
Geometricamente, $A$ apenas estica (ou inverte) um autovetor: sua direção não muda.
A figura~\ref{fig:eigen} mostra isso para a matriz do exemplo~\ref{ex:matrix} abaixo.
\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
\draw[->, gray] (-2.4,0) -- (3.4,0) node[right] {$x$};
\draw[->, gray] (0,-2.4) -- (0,3.4) node[above] {$y$};
\draw[->, thick, blue!70!black] (0,0) -- (1,1) node[below right] {$v_1$};
\draw[->, thick, blue!70!black, dashed] (0,0) -- (3,3) node[above left] {$Av_1=3v_1$};
\draw[->, thick, red!70!black] (0,0) -- (1,-1) node[below left] {$v_2$};
\draw[->, thick, red!70!black, dashed] (0,0) -- (1,-1);
\node[red!70!black, right] at (1.1,-1.2) {$Av_2=v_2$};
\end{tikzpicture}
\caption{A matriz $A$ estica $v_1=(1,1)$ por um fator $3$ e mantém $v_2=(1,-1)$ inalterado.}
\label{fig:eigen}
\end{figure}
\section{Resultado principal}
\begin{theorem}{Polinômio característico}{charpoly}
Um escalar $\lambda$ é um autovalor de $A$ se e somente se $\det(A-\lambda \id)=0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
$Av=\lambda v$ com $v\neq 0$ equivale a dizer que $(A-\lambda \id)v=0$ tem uma solução não nula. Isso
acontece exatamente quando $A-\lambda \id$ não é invertível, isto é, quando seu determinante é zero.
\end{proof}
\begin{remark}
O polinômio $p(\lambda)=\det(A-\lambda\id)$ tem grau $n$, de modo que $A$ tem no máximo $n$ autovalores
distintos. Sobre $\C$, tem exatamente $n$ autovalores contados com multiplicidade.
\end{remark}
\section{Exemplos}
\begin{example}{Uma matriz simétrica}{matrix}
Encontre os autovalores e autovetores de
\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
\]
O polinômio característico é
\[
\det(A-\lambda\id) = (2-\lambda)^2 - 1 = (\lambda-1)(\lambda-3),
\]
de modo que os autovalores são $\lambda_1=3$ e $\lambda_2=1$. Resolver $(A-\lambda_i\id)v=0$ dá os
autovetores
\[
v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
\]
\end{example}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item O traço de $A$ é $\lambda_1+\lambda_2=4$ e seu determinante é $\lambda_1\lambda_2=3$.
\item Os autovetores são ortogonais: para uma matriz real simétrica, autovetores de autovalores distintos sempre são ortogonais.
\end{enumerate}
\end{document}