Modello LaTeX per appunti di lezione
Un modello LaTeX gratuito per appunti di lezione con riquadri colorati per definizioni, teoremi, esempi e osservazioni, numerati automaticamente, per far risaltare la struttura di una materia.
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Codice LaTeX
% Modello di appunti di lezione: riquadri colorati per definizioni, teoremi, esempi e osservazioni, dimostrazioni,
% una figura TikZ e un'intestazione corrente. È riempito con un breve
% esempio (autovalori e autovettori) per mostrare l'aspetto di ogni riquadro. Sostituisci l'esempio con i tuoi appunti.
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% ---- Dati del corso: modificali ----
\newcommand{\coursename}{Algebra lineare}
\newcommand{\notestitle}{Autovalori e autovettori}
\newcommand{\notesauthor}{Il tuo nome}
\newcommand{\notesdate}{Autunno 2026}
\title{\notestitle}
\author{\coursename \\ \notesauthor}
\date{\notesdate}
% Intestazione e piè di pagina
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\lhead{\coursename}
\rhead{\notestitle}
\cfoot{\thepage}
\setlength{\headheight}{14pt}
% Scorciatoie per gli insiemi numerici e gli operatori più comuni
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\DeclareMathOperator{\id}{Id}
% Riquadri numerati per sezione: Definizione, Teorema, Esempio e Osservazione
\newtcbtheorem[number within=section]{definition}{Definizione}{colback=blue!5,colframe=blue!60!black,fonttitle=\bfseries}{def}
\newtcbtheorem[number within=section]{theorem}{Teorema}{colback=red!4,colframe=red!60!black,fonttitle=\bfseries}{thm}
\newtcbtheorem[number within=section]{example}{Esempio}{colback=green!4,colframe=green!45!black,fonttitle=\bfseries}{ex}
\newtcolorbox{remark}{colback=yellow!10,colframe=orange!70!black,title=Osservazione,fonttitle=\bfseries}
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{fancy}
\tableofcontents
\section{Definizioni}
\begin{definition}{Autovalore e autovettore}{eigen}
Sia $A$ una matrice $n\times n$. Uno scalare $\lambda\in\C$ è un \emph{autovalore} di $A$ se esiste
un vettore non nullo $v\in\C^n$, detto \emph{autovettore}, tale che
\begin{equation}
Av = \lambda v .
\end{equation}
\end{definition}
Geometricamente, $A$ si limita ad allungare (o a ribaltare) un autovettore: la sua direzione non cambia.
La figura~\ref{fig:eigen} lo mostra per la matrice dell'esempio~\ref{ex:matrix} più sotto.
\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.1, >=stealth]
\draw[->, gray] (-2.4,0) -- (3.4,0) node[right] {$x$};
\draw[->, gray] (0,-2.4) -- (0,3.4) node[above] {$y$};
\draw[->, thick, blue!70!black] (0,0) -- (1,1) node[below right] {$v_1$};
\draw[->, thick, blue!70!black, dashed] (0,0) -- (3,3) node[above left] {$Av_1=3v_1$};
\draw[->, thick, red!70!black] (0,0) -- (1,-1) node[below left] {$v_2$};
\draw[->, thick, red!70!black, dashed] (0,0) -- (1,-1);
\node[red!70!black, right] at (1.1,-1.2) {$Av_2=v_2$};
\end{tikzpicture}
\caption{La matrice $A$ allunga $v_1=(1,1)$ di un fattore $3$ e lascia invariato $v_2=(1,-1)$.}
\label{fig:eigen}
\end{figure}
\section{Risultato principale}
\begin{theorem}{Polinomio caratteristico}{charpoly}
Uno scalare $\lambda$ è un autovalore di $A$ se e solo se $\det(A-\lambda \id)=0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
$Av=\lambda v$ con $v\neq 0$ equivale a dire che $(A-\lambda \id)v=0$ ha una soluzione non nulla. Ciò
accade esattamente quando $A-\lambda \id$ non è invertibile, cioè quando il suo determinante è nullo.
\end{proof}
\begin{remark}
Il polinomio $p(\lambda)=\det(A-\lambda\id)$ ha grado $n$, quindi $A$ ha al più $n$ autovalori
distinti. Su $\C$ ne ha esattamente $n$ contati con la molteplicità.
\end{remark}
\section{Esempi}
\begin{example}{Una matrice simmetrica}{matrix}
Trova gli autovalori e gli autovettori di
\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
\]
Il polinomio caratteristico è
\[
\det(A-\lambda\id) = (2-\lambda)^2 - 1 = (\lambda-1)(\lambda-3),
\]
quindi gli autovalori sono $\lambda_1=3$ e $\lambda_2=1$. Risolvendo $(A-\lambda_i\id)v=0$ si
ottengono gli autovettori
\[
v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
\]
\end{example}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item La traccia di $A$ è $\lambda_1+\lambda_2=4$ e il suo determinante è $\lambda_1\lambda_2=3$.
\item Gli autovettori sono ortogonali: per una matrice reale simmetrica, gli autovettori relativi ad autovalori distinti lo sono sempre.
\end{enumerate}
\end{document}