Modello LaTeX di scheda di esercizi con soluzioni
Un modello LaTeX gratuito di scheda di esercizi con punteggio, difficoltà e suggerimento per ogni esercizio. Un solo file produce la scheda per gli studenti e la versione con soluzioni svolte.
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Codice LaTeX
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% Scheda di esercizi con soluzioni
%
% Per iniziare
% 1. Inserisci la materia, il numero della scheda, il titolo, il docente e
% la data nel blocco «Dati della scheda».
% 2. Mostra o nascondi le soluzioni con UNA sola riga: \solutionstrue o
% \solutionsfalse. Compila con \solutionsfalse per la scheda da
% distribuire agli studenti e con \solutionstrue per il tuo correttore.
% 3. Sostituisci gli esercizi di esempio. Ognuno ha questa forma:
% \begin{exercise}{punti}{difficoltà 1-3}
% Testo dell'esercizio.
% \hint{Suggerimento facoltativo.}
% \begin{solution} Soluzione svolta. \end{solution}
% \end{exercise}
% La somma totale dei punti si calcola automaticamente.
% ============================================================================
\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage[a4paper,margin=2.5cm,headheight=14pt]{geometry}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{environ}
\usepackage{tcolorbox}
\tcbuselibrary{breakable}
% ---------------------------------------------------------------------------
% Interruttore delle soluzioni: \solutionstrue le mostra, \solutionsfalse le nasconde
% ---------------------------------------------------------------------------
\newif\ifsolutions
\solutionsfalse
% ---------------------------------------------------------------------------
% Dati della scheda
% ---------------------------------------------------------------------------
\newcommand{\coursename}{Analisi Matematica I}
\newcommand{\sheetnumber}{3}
\newcommand{\sheettitle}{Derivate, limiti e integrali}
\newcommand{\instructor}{Prof.ssa Giulia Rossi}
\newcommand{\duedate}{\today}
% ---------------------------------------------------------------------------
% Testi fissi (traducili se scrivi in un'altra lingua)
% ---------------------------------------------------------------------------
\newcommand{\sheetword}{Scheda di esercizi}
\newcommand{\exercisename}{Esercizio}
\newcommand{\solutionname}{Soluzione}
\newcommand{\solutionsword}{Soluzioni}
\newcommand{\hintname}{Suggerimento}
\newcommand{\difficultyname}{Difficoltà}
\newcommand{\namelabel}{Nome}
\newcommand{\datelabel}{Data}
\newcommand{\duelabel}{Consegna}
\newcommand{\totalname}{Totale}
\newcommand{\pointsof}[1]{#1~pt}
% ---------------------------------------------------------------------------
% Intestazione e piè di pagina
% ---------------------------------------------------------------------------
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\lhead{\coursename}
\rhead{\sheetword~\sheetnumber}
\cfoot{\thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
% ---------------------------------------------------------------------------
% Esercizi, suggerimenti e soluzioni
% ---------------------------------------------------------------------------
\newcounter{exercise}
\newcounter{totalpoints}
% La difficoltà si mostra con pallini pieni e vuoti (1 = facile, 3 = difficile)
\newcommand{\difficulty}[1]{%
\ifcase#1\or$\bullet\circ\circ$\or$\bullet\bullet\circ$\or$\bullet\bullet\bullet$\fi}
\newenvironment{exercise}[2]{%
\refstepcounter{exercise}%
\addtocounter{totalpoints}{#1}%
\par\bigskip\noindent
\textbf{\exercisename~\theexercise.}\hfill
{\small\pointsof{#1}\quad\difficultyname: \difficulty{#2}}%
\par\nobreak\smallskip\noindent\ignorespaces
}{\par}
\newcommand{\hint}[1]{\par\smallskip\noindent{\small\textit{\hintname:} #1}\par}
\ifsolutions
\newtcolorbox{solution}{%
breakable, colback=green!4!white, colframe=green!45!black,
boxrule=0.5pt, arc=2pt, left=6pt, right=6pt, top=4pt, bottom=4pt,
before skip=8pt, after skip=4pt,
title=\solutionname, fonttitle=\bfseries\small, coltitle=black,
colbacktitle=green!15!white, toptitle=1.5pt, bottomtitle=1.5pt}
\else
\NewEnviron{solution}{}
\fi
\setlist[enumerate,1]{label=(\alph*), leftmargin=2em, itemsep=2pt, topsep=4pt}
% ---------------------------------------------------------------------------
% Documento
% ---------------------------------------------------------------------------
\begin{document}
\begin{center}
{\Large\bfseries\coursename}\\[4pt]
{\Large\sheetword~\sheetnumber\ifsolutions\ --- \solutionsword\fi}\\[2pt]
{\large\sheettitle}\\[4pt]
{\small\instructor\quad|\quad\duelabel: \duedate}
\end{center}
\noindent\textbf{\namelabel:} \underline{\hspace{7cm}}\hfill
\textbf{\datelabel:} \underline{\hspace{3.5cm}}
\medskip\noindent
{\small\textit{Risolvi tutti gli esercizi e motiva ogni passaggio. Non è consentito l'uso della calcolatrice.}}
% ---------------------------------------------------------------------------
\begin{exercise}{4}{1}
Deriva le seguenti funzioni:
\begin{enumerate}
\item $f(x) = x^{2}e^{-x}$,
\item $g(x) = \dfrac{\sin x}{x^{2}+1}$.
\end{enumerate}
\hint{Usa la regola del prodotto in (a) e la regola del quoziente in (b).}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item $f'(x) = 2x\,e^{-x} + x^{2}\cdot(-e^{-x}) = x(2-x)\,e^{-x}$.
\item $g'(x) = \dfrac{\cos x\,(x^{2}+1) - \sin x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}
= \dfrac{(x^{2}+1)\cos x - 2x\sin x}{(x^{2}+1)^{2}}$.
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{exercise}
% ---------------------------------------------------------------------------
\begin{exercise}{4}{2}
Calcola il limite
\[
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}.
\]
\hint{Numeratore e denominatore tendono a $0$. Prova la regola di de l'Hôpital o lo sviluppo di Taylor di $e^{x}$.}
\begin{solution}
Il limite presenta la forma indeterminata $0/0$, quindi applichiamo due volte la regola di de l'Hôpital:
\[
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}
= \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{2x}
= \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{2}
= \frac{1}{2}.
\]
Con la formula di Taylor, $e^{x}-1-x = \tfrac{x^{2}}{2} + o(x^{2})$, si ottiene lo stesso valore.
\end{solution}
\end{exercise}
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\begin{exercise}{5}{2}
Calcola gli integrali:
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,\mathrm{d}x$,
\item $\displaystyle\int_{1}^{e} x\ln x\,\mathrm{d}x$.
\end{enumerate}
\hint{Sostituzione in (a) e integrazione per parti in (b).}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Con $u = x^{2}$ e $\mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x$:
\[
\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,\mathrm{d}x
= \frac12\int_{0}^{1} e^{u}\,\mathrm{d}u = \frac{e-1}{2}.
\]
\item Poniamo $u=\ln x$ e $\mathrm{d}v = x\,\mathrm{d}x$:
\[
\int_{1}^{e} x\ln x\,\mathrm{d}x
= \left[\frac{x^{2}}{2}\ln x\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e}\frac{x}{2}\,\mathrm{d}x
= \frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2}-1}{4}
= \frac{e^{2}+1}{4}.
\]
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{exercise}
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\begin{exercise}{4}{3}
Un agricoltore dispone di $100$ m di recinzione e vuole recintare un campo rettangolare addossato a un muro lungo e dritto,
in modo da dover recintare solo tre lati. Quali dimensioni danno l'area massima e quanto vale quest'area?
\hint{Scrivi l'area come funzione di una sola variabile.}
\begin{solution}
Sia $x$ la lunghezza dei due lati perpendicolari al muro e $y$ quella del lato parallelo.
La recinzione soddisfa $2x + y = 100$, quindi $y = 100 - 2x$ e l'area è
\[
A(x) = x(100-2x) = 100x - 2x^{2}, \qquad 0 < x < 50.
\]
Allora $A'(x) = 100 - 4x = 0$ dà $x = 25$, e $A''(x) = -4 < 0$ conferma che si tratta di un massimo.
Il campo migliore misura $25\ \text{m} \times 50\ \text{m}$ (con $y = 50$ m lungo il muro)
e la sua area è $1250\ \text{m}^{2}$.
\end{solution}
\end{exercise}
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\begin{exercise}{3}{3}
Dimostra che la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$ converge e calcolane la somma.
\hint{Scomponi il termine generale in fratti semplici.}
\begin{solution}
Poiché $\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac1n - \dfrac1{n+1}$, le somme parziali sono telescopiche:
\[
S_N = \sum_{n=1}^{N}\left(\frac1n - \frac1{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{N+1}.
\]
Per $N\to\infty$, $S_N \to 1$. Quindi la serie converge e la sua somma è $1$.
\end{solution}
\end{exercise}
\bigskip
\hfill\textbf{\totalname: \pointsof{\thetotalpoints}}
\end{document}